ادامه حل فعالیت صفحه 39 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: تفاوت اصلی در قابلیت تعمیم این دو خاصیت، به **میزان تقارن** و ویژگی‌های شکل‌های هندسی مورد بحث برمی‌گردد: * **فعالیت ۲ (مثلث متساوی‌الساقین):** یک مثلث متساوی‌الساقین (غیر متساوی‌الاضلاع) فقط **یک محور تقارن** دارد. زاویه‌ی رأس ($ \hat{A} $) و نیمساز آن ($AD$) روی این محور تقارن قرار دارند و به همین دلیل ویژگی‌های خاصی (میانه و ارتفاع بودن) پیدا می‌کنند. اما زاویه‌های قاعده ($ \hat{B} $ و $ \hat{C} $) نسبت به اضلاع مجاورشان موقعیت منحصربه‌فردی ندارند (مثلاً $AB=BC$ برقرار نیست). بنابراین، اثباتی که برای زاویه‌ی رأس معتبر است، برای زاویه‌های قاعده کاربرد ندارد. * **فعالیت ۳ (مربع):** یک مربع شکل کاملاً متقارنی است. تمام اضلاع آن برابر و تمام زوایای آن برابرند. این تقارن بالا باعث می‌شود که شرایطی که برای اثبات یک خاصیت در مورد قطر $AC$ استفاده می‌شود (یعنی برابری اضلاع $AB, BC, CD, DA$)، **دقیقاً همان شرایطی** باشد که برای اثبات همان خاصیت در مورد قطر $BD$ نیاز داریم. در مربع، هیچ قطر یا رأسی بر دیگری «برتری» ندارد و هر استدلالی برای یکی، برای دیگری نیز قابل تکرار است.

پاسخ تشریحی: **بله، این اثبات کافی است.** **دلیل:** قدرت یک اثبات هندسی در **کلی بودن و عدم وابستگی به یک حالت خاص** است. در این استدلال، نقطه‌ی $P$ به عنوان یک نقطه‌ی **دلخواه** روی عمودمنصف انتخاب شده است. یعنی برای اثبات، ما از هیچ ویژگی خاصی از $P$ (مانند فاصله‌ی مشخص آن از خط $AB$ یا مختصات آن) استفاده نکرده‌ایم. مراحل اثبات (هم‌نهشتی مثلث‌ها به حالت ض‌زض) تنها بر دو حقیقت استوار است: ۱. $H$ وسط $AB$ است ($ AH=BH $). ۲. خط $PH$ بر $AB$ عمود است ($ \angle PHA = \angle PHB = ۹۰^\circ $). این دو حقیقت برای **هر نقطه‌ای** که روی عمودمنصف انتخاب شود، برقرار است. چون در اثبات از هیچ ویژگی دیگری استفاده نشده، نتیجه‌ی حاصل ($ PA = PB $) نیز برای **تمام نقاط روی عمودمنصف** معتبر خواهد بود. این مفهوم «اثبات به کمک متغیر یا عضو دلخواه» اساس بسیاری از اثبات‌های ریاضی است.